定义

树Tree是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中:
1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点;
2)当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、……、Tn,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树。

此外,树的定义还需要强调以下两点:
1)n>0时根结点是唯一的,不可能存在多个根结点,数据结构中的树只能有一个根结点。
2)m>0时,子树的个数没有限制,但它们一定是互不相交的。

如图1,普通的树结构:


图1

节点的度

节点拥有的子树数目称为节点的度。
例如图2所示:


图2

节点关系

结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
图中,A为B的双亲结点,B为A的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
图中,结点B与结点C互为兄弟结点。

结点层次

从根开始定义起,根为第一层,根的孩子为第二层,以此类推。
如图3所示:


图3

树的深度

树中结点的最大层次数称为树的深度或高度,图中树的深度为4。

二叉树

定义

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、
分别称为根结点的左子树和右子树组成。
如图4所示:


图4

二叉树特点

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点:
1)每个结点最多有两个子树,所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2)左子树和右子树是有顺序的,次序不能颠倒。

二叉树性质

1)在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。(i>=1)
2)二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1)
3)n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数,n2表示度数为2的节点数。
4)在完全二叉树中,具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1,其中[log2n]是向下取整。
5)若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号,则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性:

(1) 若 i=1,则该结点是二叉树的根,无双亲, 否则,编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n,则该结点无左孩子, 否则,编号为 2i 的结点为其左孩子结点;
(3) 若 2i+1>n,则该结点无右孩子结点, 否则,编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

斜树

斜树:所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。
如图5左斜树、图6右斜树


图5左斜树

图6右斜树

满二叉树

满二叉树:在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,
这样的二叉树称为满二叉树。


图7满二叉树

满二叉树的特点有:

1) 叶子只能出现在最后一层。
2) 非叶子结点的度一定是2。
3) 在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多。

完全二叉树

对一颗具有n个结点的二叉树按层编号,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中
编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。


图8完全二叉树

完全二叉树的特点

1) 叶子结点只能出现在最下层和倒数第二层。
2) 最后一层的叶子结点集中在树的左部且连续。
3) 倒数第二层若存在叶子结点,一定在右树且连续。
4) 如果结点度为1,则该结点只有左孩子,即没有右子树。
5) 同样结点数目的二叉树,完全二叉树深度最小。
注:满二叉树一定是完全二叉树,但反过来不一定成立。

二叉树遍历


图9
我们针对图9进行相关的遍历

层次遍历

  1. 从根结点开始访问;
  2. 逐层进行访问,在同一层中,按从左到右的方式进行访问。

遍历的结果为:A-B-C-D-E-F-G-H-J-I

先序遍历

  1. 访问根结点;
  2. 先序遍历左子树;
  3. 先序遍历右子树。

    Tips: 先访问根节点,先左子树后右子树,先父层后子层,先左节点后右节点

遍历的结果为:A-B-D-G-H-I-C-E-F-J

中序遍历

  1. 中序遍历左子树;
  2. 访问根结点;
  3. 中序遍历右子树。

    Tips: 先访问左子树,再访问根节点,再访问右子树

遍历结果为:

后序遍历

  1. 后序遍历左子树;
  2. 中序遍历右子树;
  3. 访问根结点。

    Tips: 先访问左子树,再访问右子树,再访问根节点,

遍历结果为: